关于美国学校教育，特别是公立学校教育的文章不时见诸报刊，国人也形成了美国小学课业负担轻、学习内容难度低的印象。本期作者于2017年2月至8月以访问学者的身份在美工作和学习。期间，8岁的儿子也一同赴美，进入当地一所公立学校二年级学习。借此机会，得以凭借“研究者”和“家长”的身份一窥美国基础教育。本刊将陆续刊发一系列关于美国基础教育的文章，希望能带给读者一些启迪和借鉴。
儿子进入美国HE公立小学读书，第一天放学回家就让我大吃一惊。他对我说：“妈妈，我今天笑死了。老师给我们做10以内加减法，还有小朋友掰手指头做。”10以内加减法计算对于中国小学教育而言，是一年级学习最基础的要求。二年级的孩子还要掰手指计算，简直是不可思议。更令人意想不到的是，过了两天，孩子把学校作业带回家，我才发现，美国孩子的计算练习题竟然是列好竖式的！这还需要掰手指计算？！我不禁为孩子将来回国后的数学学习感到深深地担忧。
图1 数学口算练习纸
研究资料也显示，在经济合作与发展组织（OECD）近十几年来的国际学生评估项目（PISA）的成绩报告中，美国学生在数学方面的表现始终在各参与国家和地区的平均数上下徘徊，历年来的进步也不明显。从冷战时期由于苏联卫星上天事件引发的《国防教育法》，到二十世纪八十年代的《国家处在危机之中》引发的教育改革，乃至今天STEM（科学、技术、工程、数学）教育热潮，美国的教育改革运动在数学教育方面可谓是花费了大力气，投入了巨大的资源支持。在这样的背景下，我十分好奇：美国孩子会学习“奥数”吗？美国基础教育阶段特别是小学的数学教育真的如我们想象中这般质量低下吗？
首先，美国孩子学不学“奥数”？答案很肯定，“学”！但必须要指出的是，以笔者的了解，至少对小学的孩子而言，“奥数”纯粹是少数孩子出于个人兴趣的学习课程，绝不是普及性的数学教育，更与升学毫不沾边。学校确实有一些跟社区合作的校外课程，如早间和晚间课程，但这类课程通常以艺术类、体育类为主，要说与学校课程相关的，也仅有阅读和科学活动课程，但也绝不是针对课内学习的辅导，往往是自成体系的一套教学内容。笔者所在的密歇根州立大学长于教师培养，该大学的中小学教师培养专业长期占据美国相关专业排行榜的首位。暑假期间，该大学提供了非常丰富的面向中小学生的暑期夏令营课程。这些课程中有一个在家长中口碑非常好的数学夏令营课程，面向2-4年级小学生开设一些几何和数理逻辑课程，学习内容十分接近国内的“奥术”。虽然该课程在家长中口碑很好，但暑假期间也只开设两期，每期一周，每天三个小时。学生数量也就是十五六个而已。可以说，像国内一些地方“全民奥数”的现象是绝对没有见到的。
其次，从美国学校的数学教育观察来看，美国数学教育也形成了自己的风格和特点。相关研究资料显示，美国教育界始终没有停止研究、思考和反省数学教育。从19世纪末开始，数学教育的研究开始在美国出现，并逐步形成了专业研究团体。到20世纪六七十年代，数学教育有了发表自己研究的专题学术期刊，在美国成为了一个专门的研究领域。历次美国教育改革运动中，提高数学教育质量始终是改革的核心内容之一。相关资料还表明，在美国数学教育界，自上世纪80年代起，就开始关注数学问题解决与人工智能的关系，也正是那时，奠定了美国数学教育的三个传统：美国公立学校中的数学教育也恰恰是围绕着这三个原则组织和进行的。
并且，由于在数学教学中重视概念学习，美国学校的数学学习中会在小学低年级开始渗透一些较为复杂的概念，逐步使学生循序渐进地掌握概念。此外，在杜威教育思想的引领下，“做中学”的观念深入人心，美国数学教学内容普遍重视不同学习的整合，重视通过动手操作来掌握抽象的概念，对于学科逻辑十分周密，对学生抽象思维能力要求较高的数学学习也毫不例外。因此，总体上来看，美国数学教育的操作性和趣味性都很强，对学生十分有吸引力。归纳起来，美国小学阶段的数学教育体现出以下特征。
重视概念学习与思维训练
无论是课外的“奥数”课程还是学校数学教育，美国的数学教学十分重视孩子数学概念的学习和数学思维的建立，绝看不到“刷题”的现象。以几何学习为例，如图2所示，为帮助孩子理解多边形的概念，教师会使用用钉板和橡皮筋制成的教具，引导孩子运用橡皮筋和钉子动手摆出各种多边形的形状。还有很多几何图形的“完形”练习，教师出示不完整的几何图形，要求学生设想，如何对这个图形进行剪裁、旋转或是折叠，使图形能够成为类似正方形、圆形或是平行四边形的特定几何图形。再例如，为发展学生对“映射”概念的理解，教师会给学生一个不透光的正方体，再给学生一把手电筒。学生用手电筒照射正方体，并且不断自己转换正方体的角度，观察正方体投射在墙壁上的影子的形状与正方体角度的关系（图3）。
图2 摆出多边形
图3 理解投影与物体的关系
对于复杂概念，美国数学教育界并不要求孩子在很小的时候就去掌握复杂概念，而是会设计循序渐进地进程从小开始慢慢渗透，帮助孩子逐步掌握复杂概念。例如，“对称”其实是相对比较复杂的概念，但是在小学二年级，美国的数学练习当中就开始出现“对称”和“对称轴”的概念，如图4所示，但由于这是学习者初次接触复杂概念，因此对于概念掌握程度的要求就很低。在图4的练习中，要求学习者只要能够分辨简单轴对称图形即可。
图4 寻找对称轴
对于数学学科而言，数学思维的培养是孩子未来数学学习的基础。美国的数学课程与教学也大量渗透着数学思维的培养。因此，即使是普通的练习，也十分注意渗透思维方法的引导。如经典逻辑练习，题目设计者也会提供相应的认知支架，帮助学习者掌握数学思维方法。如图5的练习，Yolanda小朋友要过生日了，她的好朋友Sybil决定送给她一个惊喜。Sybil邀请了四位好朋友与自己一起为Yolanda组织一次生日聚会。Sybil要求四位小朋友分别为聚会准备一些物品。题目要求学习者根据一系列线索来推断，这四位好朋友分别准备了哪些物品。在这里，题目设计者列出了一个表格来帮助孩子将推理的过程呈现出来。表格最左侧一列是小朋友的名字，最上方则是生日聚会所需的物品，表格的中间部分，则引导孩子用符号表示题目中给出的条件。这个表格在某种意义上就是“认知支架”，提示孩子可以通过列表的方法来解决这个问题。
图5 逻辑推理问题
还有对孩子而言较为复杂的统计学的知识，在刚刚开始接触的时候，美国学校的教学就注重将统计学知识与统计图表结合起来，不仅使孩子的学习更为形象，而且对于培养学生通过直观的方式呈现抽象问题的意识大有帮助。如图6的练习，左边是将二年级学生的身高制成了一个统计表，表示从48英寸到54英寸的学生各有几人，右边则是要求学生根据左边统计表的数据绘制柱状图，呈现出统计表中的信息。
图6 初步统计学
“做中学”，提高动手操作能力
除了重视概念学习之外，受杜威教育思想的影响，美国教育界“做中学”的观念深入人心。因此，即使是被称为“思维体操”的数学，在美国的课堂教学中也仍然是力求让孩子更多地以动手操作的方式去学习。以几何的学习为例，为了形成孩子的空间概念，如前文提到的“几何完形”练习为例，即便是观察图形，学习的方式也不是以书面练习题的形式进行的，而是如图7所示，教师将相应的图形打印在纸上，学生拿着这张练习纸，尝试折叠、剪裁和拼接，最终完成练习。在日常学习的练习中，遇到测量的问题，练习设计者还很喜欢在练习题目边上画上直尺。这样，学生就可以先动手用剪刀把纸上的直尺剪下来，然后再去完成测量任务。
图7 几何图形完型
在美国数学教学中，只要有机会，教育者也会尽量以深层学习的方式来设计课程，提高数学学习的整合性。例如，在课外的“奥数”课程中，涉及了几何体的学习。教师就基于深层学习的理念，采用“基于设计的学习”带领学生进行学习。教师设计的学习主题是“玩具的家”，项目学习分为几个步骤进行。
第一步，孩子们两两一组，以自己最爱的毛绒玩具为主人公，想象给它搭建一所房子。孩子要设想，居住在这所房子里的主人有哪些需要？如何设计房间及家具来满足主人的需要？房子里面还需要哪些家具来实现居住的需求？
第二步，绘制房子的草图，包括整座房子的外观、房间布局的平面图、家具图，等等。
第三步，用手工纸搭建房子。学生用全开纸大小的手工纸搭建自己设计的房子，教师为学生提供所需的各种用品，手工纸、剪刀以及各类胶条、胶棒等等。学生两人合作完成搭建工作，教师予以必要的辅助和支持。
第四步，完善房子内部细节。学生可以在房子内部装上楼梯、按照最初的“设计图纸”分割房子的功能和区域，制作家具等。
第五步，交流与分享。房子建好以后，教师会要求学生把最心爱的毛绒玩具带到学校，把玩具放在房子里面，在全班同学面前讲述一个以毛绒玩具为主人公、发生在这所房子里面的小故事。
对于类似的数学学习，孩子的学习已经远远超出了“做中学”的范畴。在学习过程中，学生通过动手操作、想象与设计、描述与表达，训练了动手能力、想象力和表达能力，大大提高了数学学习的趣味性。同时，教学过程面向高阶认知目标的达成，学生的认知和社会性发展目标高度整合，实现了深层学习。
图8 纸房子
重视与学生生活经验结合创设问题解决情境
美国学校在数学教学中，也会给孩子布置各种各样的练习。但毫无例外地是，无论是什么教材或是辅导资料，数学题目的设计都非常贴合孩子的日常生活情境。因此，孩子带回家的数学练习给我的第一感觉常常是应用性很强，就从孩子身边的事情入手。国内的教材中，北师大版小学数学教材在这方面也做得很好。如前文提及的逻辑推理练习、关于几何体的项目学习等，都是以学习者的生活经验为基础创设问题情境，学习者不仅能够感受到数学不只是抽象的计算与论证，而且有助于拉近学习者与数学学习的关系，降低对数学学习的抵触心理。
一旦有机会在日常生活中运用数学知识和思维解决问题时，美国老师也会不遗余力地给孩子们提供各种机会，实际演练和操作他们学到的数学知识。图9是HE小学二年级下学期综合活动课中的一项学习任务。这项学习任务需要孩子运用数学课上学习的有关空间方位的知识。孩子在参观了当地一个历史文化村之后，老师要求孩子们按照图上已有的提示将历史文化村的地图绘制出来。类似空间方位的知识也是我国小学二年级下学期数学课的学习内容，但学生通常是在图中根据空间方位标注出某一位置，相比之下，这样在实际生活中运用所学知识的练习其实对孩子提出了更高的挑战。
当然，美国数学教育也确实存在着一定的问题。首先，由于教育界与社会公众普遍认为，计算器可以帮助人们完成日常生活的计算任务，长期不重视计算能力的培养，美国学生的数字计算能力较为薄弱，事实上已经影响到了学生数字概念的建立。
其次，数学本身知识体系非常严密，但是由于美国很多学区和各个州并不使用统一的教学大纲，还常常不指定教材，完全靠老师个人掌握教学内容与教学进度，这就使得学生数学学习的体系性很难得到保证，反而带来给孩子学习制造了困难。以HE小学为例，二年级数学学习中，在还没有学习除法的情况下，老师就开始教授有关分数的学习内容，就给孩子的理解带来了很大的困难。
而且，没有统一的教学大纲和指定教科书，也使得数学教育成为美国教育最为不公平的领域之一。因为好的学区能够吸引优秀师资承担数学学科的教学，条件不好的学区就很难招到高水平的师资，极大地拉大了不同学区之间数学教育的质量差异。此外，近年来，美国数学教育界也在反思，完全不进行计算练习，只依赖计算器是否也会危害数学教育，因此，作为折中，很多学校也在进行口算练习，不过难度和要求与国内学校不可同日而语。
但整体而言，由于美国数学教育界重视概念学习的整体氛围，鼓励学生“做中学”，并且尽可能地使数学学习与学生的生活经验相联系，“刷题”式的数学学习方式绝难见到，再加上从小学开始，很多美国学校就通过“走班制”对学生进行差异化教学，对于那些真正有数学天赋的孩子，他们的学习兴趣和学习潜力得到了最大限度的保护，反而在高中之后，真正要去参加数学竞赛的时候，不排斥枯燥的训练。
美国数学教育的许多方面与我国教育界的思路和实践有很大差别。但笔者认为，重视概念学习、与学生生活经验相联系，强调“做中学”对我国的数学教育同样具有启发意义。“刷题式”的反复操练固然能够帮助学生形成直觉式的“刺激-反应”，大幅度提高测验的准确度和速度，但是对孩子数学兴趣的打击也是显而易见的。并且，“刷题”对于孩子准确而深刻地掌握数学概念究竟有多少帮助，也是值得讨论和反思的。除此之外，教育界的同行常常感叹，当学生升高到更高年级以后，中美学生在动手能力上的差距往往会特别明显，那么美国数学教育的“做中学”学习方式是否也可以看做是他们长期以来培养学生动手能力的一个部分呢？诚然，没有完美的教育体系，只有各教育体系之间相互学习借鉴、取长补短，也才是下一代的福祉吧。
责任编辑 | 范姜颐
图片来源 | 赵萍
（作者单位：教育部普通高校人文社会科学重点研究基地，北京师范大学教师教育研究中心）
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